Question

7．已知不等式|x-3|+|x+2|≤|a+1|．
（1）当a=-8时，解不等式；
（2）若不等式有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=-8代入不等式化简，对x分类讨论，分别去掉绝对值求出x的范围，最后再求并集可得答案；
（2）由绝对值的几何意义求出式子|x-3|+|x+2|的最小值，由条件列出不等式，利用绝对值不等式的解法求出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=-8时，不等式为|x-3|+|x+2|≤7，
当x≤-2时，原不等式等价于-2x-6≤0，即x≥-3，∴-3≤x≤-2，
当-2＜x＜3时，原不等式等价于5≤7，成立，∴-2＜x＜3，
当x≥3时，原不等式等价于2x-1≤7，即x≤4，∴3≤x≤4，
综上所述，不等式的解集为[-3，4]；
（2）∵对任意x∈R，式子|x-3|+|x+2|的最小值是5，
∴不等式|x-3|+|x+2|≤|a+1|有解时满足：|a+1|≥5，
∴a+1≤-5或a+1≥5，解得a≤-6或a≥4，
即a的取值范围是（-∞，-6]∪[4，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，利用绝对值的几何意义求最值，以及分类讨论思想，考查化简、变形能力．