Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB=PD，且EF分别是BC，CD的中点．求证：
（1）EF∥平面PBD；
（2）平面PEF⊥平面PAC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）欲证明线面平行，需转化为线线平行．
（2）欲证明面面垂直，需转化为线线垂直．

解答： 证明：（1）∵E，F分别是BC，CD的中点，
∴EF∥BD，
∵EF不包含于平面PBD，BD?平面PBD，
∴EF∥平面PBD．
（2）设BD∩AC=O，连结PO，
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是BD中点，
又PB=PD，
∴BD⊥PO，
又EF∥BD，
∴EF⊥AC，EF⊥PO．
又AC∩PO=O，AC?平面PC，PO?平面PAC，
∴EF⊥平面PAC．
∵EF?平面PEF，
∴平面PEF⊥平面PAC．

点评：本题考查直线平面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．