Question

【题目】已知函数 （ 为常数）与 轴有唯一的公关点 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）曲线 在点 处的切线斜率为 ，若存在不相等的正实数 ，满足 ，证明： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为函数 的定义域为 ，且 ，
故由题意可知曲线 与 轴存在公共点 ，又 ，则有
当 时， ，函数 在定义域上递增，满足条件；
当 时，函数 在 上递减，在 上递增，
①若 时，则 ，取 ，则 ，
故由零点存在定理可知，函数 在 上还有一个零点，因此不符合题意；
②若 ，则函数 的极小值为 ，符合题意；
③若 ，则由函数 的单调性，有 ，取 ，有 ．下面研究函数
， ，因为 恒成立，故函数 在 上递增，故 ，故 成立，函数 在区间 上存在零点．
不符合题意．
综上所述：
当 时，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ；
当 时，函数 的递增区间为 ，无递减区间．
（Ⅱ）容易知道函数 在 处的切线斜率为 ，得 ，
由（Ⅰ）可知 ，且函数 在区间 上递增．
不妨设 ，因为 ，则 ，
则有 ，整理得 ，
由基本不等式得 ，故 ，整理得 ，即 ．
由函数 在 上单调递增，所以 ，即 ．
【解析】(1)根据题意由函数 f ( x ) = x a ln x 1 的定义域为 ( 0 , + ∞ ) ，且 f ( 1 ) = 0 ，故由题意可知曲线 f ( x ) 与 x 轴存在公共点 A ( 1 , 0 )，对f(x) 求导借助导函数的正负关系求出原函数的单调性，再利用零点定理对a分情况讨论即可得出结论。(2)利用(1)的结论可求出导函数在切点的函数值即为直线的斜率值，进而得到a的值再利用增函数的定义以及基本不等式即可证明结论。