Question

【题目】对于定义在区间上的函数，若任给，均有，则称函数在区间上是封闭.

（1）试判断在区间上是否封闭，并说明理由；

（2）若函数在区间上封闭，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）不封闭，理由见解析；（2）.

【解析】

（1）求出二次函数在区间上的值域，结合题中定义判断即可；

（2）将函数的解析式变形为，分类讨论的取值，求得函数在区间上的值域，转化为函数区间上的值域为的子集，由此可求得实数的取值范围.

（1），

当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，，，

所以，函数在区间上的值域为，

，因此，函数在区间上不封闭；

（2）.

①当时，对任意的，，

此时，函数在区间上封闭；

②当时，，此时函数在区间上单调递增，

则当时，，则，

所以，，解得；

③当时，，此时函数在区间上单调递减，

则当时，，则，

所以，，解得.

综上所述，实数的取值范围是.