Question

9．已知：
（1）$y=x+\frac{4}{x}$
（2）$y=sinx+\frac{4}{sinx}（0＜x＜π）$
（3）$y=\frac{{{x^2}+13}}{{\sqrt{{x^2}+9}}}$
（4）y=4•2^x+2^-x
（5）y=log₃x+4log_x3（0＜x＜1）
则其中最小值是4的函数有（4） （填入正确命题的序号）

Answer 1

分析 利用基本不等式或者利用函数的单调性求解函数的最值，判断选项即可．

解答 解：（1）因为$y=x+\frac{4}{x}$中x可以为负数，所以函数没有最小值，所以（1）不满足题意．
（2）$y=sinx+\frac{4}{sinx}（0＜x＜π）$，所以y=sinx+$\frac{1}{sinx}$+$\frac{3}{sinx}$≥2+3=5当且仅当sinx=1时，函数取得最小值：5，（2）不满足题意．
（3）$y=\frac{{{x^2}+13}}{{\sqrt{{x^2}+9}}}$=$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+9}}$＞2$\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+9}•\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+9}}}$=4．不满足题意，所以（3）不正确．
（4）y=4•2^x+2^-x=4•2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2$\sqrt{4•{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$=4，当且仅当$4•{2}^{x}=\frac{1}{{2}^{x}}$，即x=-2时取等号．所以（4）满足题意．
（5）y=log₃x+4log_x3（0＜x＜1），log₃x＜0，4log_x3＜0，显然不满足题意．
故选：（4）

点评 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，函数的单调性以及最值的判断，考查命题的真假的判断，注意基本不等式成立的条件，是中档题．