Question

4．如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的定义域为（2，4）； f′（x）=0的解是3．

Answer 1

分析 本题要根据实际情况计算出定义域与函数的零点，可以看出所给的条件是△CPD，故可根据其是三角形求出自变量的范围．面积表达式可以用海伦公式求出，对所得的函数求导，令导数为0，解出即可．

解答 解：由题意，DC=2，CP=x，DP=6-x
∵△CPD，∴$\left\{\begin{array}{l}{2+x＞6-x}\\{2+6-x＞x}\\{x+6-x＞2}\end{array}\right.$，解得x∈（2，4）
如图，三角形的周长是一个定值8，
故其面积可用海伦公式表示出来即f（x）=$\sqrt{4×（4-x）×（4-6+x）×2}$=$\sqrt{-{8x}^{2}+48x-64}$，
∴f′（x）=$\frac{-16x+48}{\sqrt{-{8x}^{2}+48x-64}}$，
令 f′（x）=0，解得x=3，
故答案为：（2，4），3．

点评 本题考查根据实际问题选择函数类型，本题中求函数解析式用到了海伦公式，学习中积累一些知识储备，视野开阔，易找出简单的解题方法．本题考查到了复合函数求导公式，有一定的综合性．