Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列五个命题：
①点P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②点P在直线BC₁，从B到C₁上运动时，P到平面AD₁C的距离变小；
③点P在直线BC₁上运动时，A₁D⊥AP；
④点P在直线BC₁上运动时，平面AD₁C∥平面A₁BP；
⑤M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则M点的轨迹是过D₁点的直线．
其中真命题的编号是

 

．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,空间位置关系与距离

分析：①可通过BC₁∥平面AD₁C，则BC₁上任一点到平面AD₁C的距离相等，V_A-D1PC=V_P-AD1C，即可判断；
②可通过BC₁∥平面AD₁C，则BC₁上任一点到平面AD₁C的距离相等，即可判断；
③由线面垂直的判定和性质，即可得到；
④由面面平行的判定，即可得证；
⑤由于在空间中与点C₁和D距离相等点在垂直且平分线段DC₁的平面上，即平面A₁BCD₁，又平面A₁BCD₁∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁D₁，即可得到．

解答： 解：①∵BC₁∥AD₁，∴BC₁∥平面AD₁C，∴BC₁上任一点到平面AD₁C的距离相等，
又V_A-D1PC=V_P-AD1C，则三棱锥A-D₁PC的体积不变，故①正确；
②点P在直线BC₁，从B到C₁上运动时，AP的长度会改变，但P到平面AD₁C的距离不变，
故②错；
③∵A₁D⊥平面ABC₁D₁，AP?平面ABC₁D₁，∴A₁D⊥AP，故③正确；
④∵平面AD₁C∥平面A₁BC₁，∴平面AD₁C∥平面A₁BP，故④正确；
⑤由于在空间中与点C₁和D距离相等点在垂直且平分线段DC₁的平面上，即平面A₁BCD₁，又平面
A₁BCD₁∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁D₁，∴平面A₁B₁C₁D₁上与点D和C₁距离相等点的轨迹是过D₁点的直线
故⑤正确．
故答案为：①③④⑤

点评：本题考查空间位置关系和距离和体积，考查线面的位置关系和面面的位置关系，主要是垂直和平行，记熟这些定理是迅速解题的关键．