Question

【题目】如图，在四边形 中， ， ， ， ， ， 是 上的点， ， 为 的中点，将 沿 折起到 的位置，使得 ，如图2.

（1）求证：平面平面 ；

（2）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）．

【解析】试题分析：(1)由四边形为菱形，且为等边三角形得，结合勾股定理得，利用判定定理证明(2) 建立空间直角坐标系，求平面的法向量和平面的法向量，利用公式求得结果

解析：（1）连结．

在四边形中，，，，，，，

∴，，

四边形为菱形，且为等边三角形．

又∵为的中点，∴.

∵，，，满足，

∴，

又∵，∴平面.

∵平面，∴平面 平面．

（2）以为原点，向量的方向分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），

则 ，，，

所以，，

设是平面的一个法向量，

则即

取，得．

取平面的一个法向量．

∵，

又二面角的平面角为钝角，

所以二面角的余弦值为．