Question

10．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=3ⁿ+1，则数列{a_n²}的前n项和T_n=$\frac{{9}^{n}+23}{2}$．

Answer 1

分析 由数列的递推式：n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，求得数列{a_n}的通项公式，可得a_n²，再由等比数列的求和公式计算即可得到所求和．

解答 解：n=1时，a₁=S₁=3+1=4；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+1-3^n-1-1=2•3^n-1，
上式对n=1不成立．
则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{2•{3}^{n-1}，n≥2，n∈N*}\end{array}\right.$，
当n=1时，a_n²=16，
n≥2时，a_n²=4•3^2n-2，
前n项和T_n=16+36+36×9+…+4•3^2n-2
=16+$\frac{36（1-{9}^{n-1}）}{1-9}$=$\frac{{9}^{n}+23}{2}$．
故答案为：$\frac{{9}^{n}+23}{2}$．

点评 本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，考查等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．