Question

在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c．若2sin²（A+B）=3cosC，c=

7

，S_△ABC=

3

2

3

，则角C=

 

；a+b=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：已知等式利用诱导公式及同角三角函数间基本关系化简，求出cosC的值，即可确定出C的度数；利用三角形的面积公式列出关系式，将sinC以及已知面积代入求出bc=6，再利用余弦定理列出关系式，将c，ab与cosC的值代入求出a²+b²=13，利用完全平方公式即可求出a+b的值．

解答： 解：∵sin（A+B）=sinC，
∴2sin²（A+B）=2sin²C=2（1-cos²C）=3cosC，即2cos²C+3cosC-2=0，
整理得：（2cosC-1）（cosC-2）=0，
解得：cosC=

1

2

或cosC=2（舍去），
∵C为三角形内角，
∴C=60°；
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab=

3

2

3

，
∴ab=6，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即7=a²+b²-ab=a²+b²-6，
整理得：a²+b²=13，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=13+12=25，
则a+b=5，
故答案为：60°；25

点评：此题考查了余弦定理，诱导公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．