Question

设函数f（x）=

3

cos²ωx+sinωxcosωx+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）如果f（x）在区间[-

π

6

，

5π

12

]上的最小值为

3

2

，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用函数的周期公式求得ω的值．
（2）先根据f（x）的解析式求得函数的最小值的表达式，进而求得a．

解答： 解：（1）f（x）=

3

×

1+cos2ωx

2

+

1

2

sin2ωx+a=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx+

3

2

+a
=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

+a
由题意知，ω=1
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

+a，
∵-

π

6

≤x≤

5π

12

，
∴0≤2x+

π

3

≤

7π

6

∴-

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴f（x）的最小值为：-

1

2

+

3

2

+a=

3

2

，
∴a=

1

2

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质．综合考查了学生对三角函数问题的把握．