Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n （n∈N^*）．数列{b_n}满足：b₁=1，b_n=abn-1 （n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）若c_n=a_n（b_n+1），求数列{c_n}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，利用S_n=n²+2n （n∈N^*），能求出a_n=2n+1．
（2）依题意知n≥2时，b_n=abn-1=2b_n-1+1，从而{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此能求出b_n=2ⁿ-1．
（3）由c_n=a_n（b_n+1）=（2n+1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

解答： 解：（1）∵S_n=n²+2n （n∈N^*），
∴n=1时，a₁=S₁=3，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²-2（n-1）]=2n+1，
当n=1时也适合此式，
故数列{a_n}的通项公式是a_n=2n+1．…2分
（2）依题意知n≥2时，b_n=abn-1=2b_n-1+1，
∴b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2≠0，…4分
∴{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴bn+1=2•2n-1=2n，∴b_n=2ⁿ-1．…5分
（3）由（1）（2）知：c_n=a_n（b_n+1）=（2n+1）•2ⁿ，…6分
∴T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ，…7分
2Tn=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)•2n+1，
∴-T_n=3•2+2•2²+2•2³+…+2•2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹…8分
=2+2（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=2+2×

(1-2n)

1-2

-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=-2+（1-2n）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．…10分．

点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用．