Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆x²+

y2

2

=1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得c=2，e=

c

a

=

2

a

=

2

2

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+1 x2 8 + y2 4 =1

，得（1+2k²）x²+4kx-6=0，由此利用韦达定理和向量知识结合已知条件能求出直线l的斜率k的范围．

解答： 解：（1）∵焦距为4，∴c=2，
又∵椭圆x²+

y2

2

=1的离心率为

2

2

，
∴e=

c

a

=

2

a

=

2

2

，解得a=2

2

，b=2，
∴椭圆C的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2 8 + y2 4 =1

，得（1+2k²）x²+4kx-6=0，
∴x₁+x₂=

-4k

1+2k2

，x₁x₂=

-6

1+2k2

，
由（1）知右焦点F坐标为（2，0），
∵右焦点F在圆内部，∴

AF

•

BF

＜0…（8分）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…（9分）
∴(1+k2)•

-6

1+2k2

+(k-2)•

-4k

1+2k2

+5=

8k-1

1+2k2

＜0…（11分）
∴k＜

1

8

，经检验得k＜

1

8

时，直线l与椭圆相交，
∴直线l的斜率k的范围为（-∞，

1

8

）．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．