Question

2．函数f（x）=e^x（-x²+2x+a）在区间[a，a+1]上单调递增，则实数a的最大值为$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为a+2≥x²在[a，a+1]恒成立，求出a的范围即可．

解答 解：f（x）=e^x（-x²+2x+a），
f′（x）=e^x（-x²+a+2），
若f（x）在[a，a+1]上单调递增，
则-x²+a+2≥0在[a，a+1]恒成立，
即a+2≥x²在[a，a+1]恒成立，
①a+1＜0即a＜-1时，y=x²在[a，a+1]递减，
y=x²的最大值是y=a²，
故a+2≥a²，解得：a²-a-2≤0，解得：-1＜a＜2，不合题意，舍；
②-1≤a≤0时，y=x²在[a，0）递减，在（0，a+1]递增，
故y=x²的最大值是a²或（a+1）²，
③a＞0时，y=x²在[a，a+1]递增，y的最大值是（a+1）²，
故a+2≥（a+1）²，解得：0＜a≤$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
则实数a的最大值为：$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
综上，a的最大值是$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．