Question

设有数列{an}，a1=，若以a1，a2，a3，……，an中相邻两项为系数的二次方程an－1x2－anx+1=0都有相同的根α、β，且满足3α－αβ＋3β=1，

（1）求证：{an－}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）求数列{an}的前5项和S5.

Answer 1

（1）见解析；（2）an＝（）n＋；（3）

【解析】

试题分析：（1）等比数列的判定方法：（1）定义法：若＝q（q为非零常数，n∈N*）或＝q（q为非零常数且n≥2，n∈N*），则数列{an}是等比数列．（2）等比中项法：若数列{an}中，an≠0且＝an·an＋2（n∈N*），则数列{an}是等比数列．（2）利用第一问即可求解；（3）利用数列求和中的分组求和法解觉.

试题解析：数列{an}，，若以a1，a2，a3，……，an中相邻两项为系数的且满足

（1）∵二次方程an－1x2－anx＋1＝0有实数根αn、βn，

∴ ，代入3（αn＋βn）－αnβn＝1得an＝an－1＋，

∴ ＝＝ （定值），∴ 数列{an－}是等比数列；

（2）a1＝，a1－＝，又数列{an－}是公比为的等比数列，

∴an－＝（a1－）·（）n－1＝（）n，∴ an＝（）n＋；

（3）S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5

＝（＋）＋[（）2＋]＋[（）3＋]＋[（）4＋]＋[（）5＋]

＝＋（）2＋（）3＋（）4＋（）5＋

＝＋＝＋=.

考点：数列及其综合应用