Question

2．已知：函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）的图象是将f（x）的图象先向右平移1个单位，然后纵坐标不变横坐标缩短到原来的一半得到的，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由图象可知：A=$\sqrt{2}$，$\frac{T}{4}$=4，ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{8}$，将（-2，0）代入f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+φ），即可求得φ的值；
（2）根据函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象变换，求得g（x）的解析式，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{8}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）由函数图象可知：A=$\sqrt{2}$，
$\frac{T}{4}$=2-（-2）=4，T=16，
由ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{8}$，
将（-2，0）代入f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
∵$\frac{π}{8}$×（-2）+φ=2kπ（k∈Z），|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，解得：φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$），
（2）将f（x）图象先向右平移1个单位得y=f（x+1）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{8}$），纵坐标不变横坐标缩短到原来的一半得到，
g（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{8}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{8}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：8k-$\frac{5}{2}$≤x≤8k+$\frac{3}{2}$，k∈Z，
g（x）的单调递增区间[8k-$\frac{5}{2}$，8k+$\frac{3}{2}$]k∈Z．

点评 本题考查求函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的解析式，考查函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）图象变换及单调性，属于中档题．