Question

13．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；
（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ²=2ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=pcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，可得直角坐标方程．直线L的参数方程消去参数t即可得出直线L的普通方程．
（2）把直线L的参数方程代入方程：x²+y²=2x化为：3t²+（4$\sqrt{2}m-4\sqrt{2}$）t+4m²-8m=0，由△＞0，利用|PA|•|PB|=t₁t₂，即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ²=2ρcosθ，
可得直角坐标方程：x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
直线L的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
消去参数t可得x-$\sqrt{2}y$-m=0．
（2）把直线L的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$t为参数），代入方程：x²+y²=2x化为：
3t²+（4$\sqrt{2}m-4\sqrt{2}$）t+4m²-8m=0，
△=（4$\sqrt{2}m-4\sqrt{2}$）²-12（4m²-8m）＞0，解得1-$\sqrt{3}$＜m＜1+$\sqrt{3}$．
∴t₁t₂=$\frac{4{m}^{2}-8m}{3}$
∵|PA|•|PB|=1=t₁t₂，
∴$\frac{4{m}^{2}-8m}{3}$=1，
解得m=1±$\frac{\sqrt{7}}{2}$．满足△＞0．
∴实数m=1±$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．