Question

已知函数f（x）=sin（x-α）+2cosx，（其中a为常数），给出下列五个命题：
①函数f（x）的最小值为-3；
②函数f（x）的最大值为h（a），且h（a）的最大值为3；
③存在a，使函数f（x）为偶函数；
④存在a，使函数f（x）为奇函数；
⑤a=

π

6

时，（-

π

3

，0）是函数f（x）的一个对称中心；
其中正确的命题序号为

 

（把所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：运用两角和差的正弦公式，化简f（x），由正弦函数的值域，即可判断①，②；
令cosα=0，可得α，即可判断③；2-sinα∈[1，3]，即cosx的系数不可能为0，即可判断④；
a=

π

6

时，化简f（x），代入x=-

π

3

，计算f（x），由对称性即可判断⑤．

解答： 解：函数f（x）=sin（x-α）+2cosx=sinxcosα+cosx（2-sinα）
=

cos2α+(2-sinα)2

sin（x+θ）（θ为辅助角）=

5-4sinα

sin（x+θ）．
对于①，f（x）的最小值为-

5-4sinα

，则①错；
对于②，f（x）的最大值为h（α）=

5-4sinα

，当sinα=-1时，h（α）的最大值为3，则②对；
对于③，由f（x）=sinxcosα+cosx（2-sinα），当α=kπ+

π

2

（k∈Z），cosα=0，sinα=±1，
f（x）=cosx或3cosx，则为偶函数．则③对；
对于④，由f（x）=sinxcosα+cosx（2-sinα），可得2-sinα∈[1，3]，即cosx的系数不可能为0，
则f（x）不为奇函数，则④错；
对于⑤，当a=

π

6

时，f（x）=sinxcos

π

6

+cosx（2-sin

π

6

）=

3

2

cosx+

3

2

sinx=

3

sin（x+

π

3

），
当x=-

π

3

，f（x）=

3

sin（-

π

3

+

π

3

）=0，即有（-

π

3

，0）是函数f（x）的一个对称中心，则⑤对．
故答案为：②③⑤．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数的值域，考查三角函数的奇偶性和对称性，考查运算能力，属于基础题和易错题．