Question

【题目】已知函数f（x）＝ln（2＋ax）（a＞0），（b∈R）．

（1）若函数f（x）的图象在点（3，f（3））处的切线与函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行，求a，b之间的关系；

（2）在（1）的条件下，若b＝a，且f（x）≥mg（x）对任意x∈[，＋∞）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）（－∞，]

【解析】

（1）对函数求导，再根据在两点处的切线的斜率相等，得到f'（3）＝g'（1），进而得到参数的关系；（2）先由b＝a求出参数值，令，则问题转化为h（x）≥0对任意x∈[，＋∞）恒成立，对m分情况，对h(x)求导研究函数的单调性，得到函数最小值，最小值大于等于0即可.

（1），，

因为函数f（x）的图象在点（3，f（3））处的切线与函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行，

所以f'（3）＝g'（1）．

所以，化简得．

（2）由（1）得，，

若b＝a，则，解得a＝2或（舍去，因为a＞0）．

所以a＝b＝2．

所以f（x）＝ln（2＋2x），．

令2＋2x＞0，得x＞－1，则函数f（x）＝ln（2＋2x）的定义域是（－1，＋∞）；

令1＋x≠0，得x≠－1，则函数的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞）．

f（x）≥mg（x）对任意x∈[，＋∞）恒成立，即对任意x∈[，＋∞）恒成立．

令，则问题转化为h（x）≥0对任意x∈[，＋∞）恒成立．

．

①当，即x＋1－m≥0时，h'（x）≥0且h'（x）不恒为0，

所以函数在区间[，＋∞）上单调递增．

又，

所以h（x）≥0对任意x∈[，＋∞）恒成立．故符合题意．

②当时，令，得；

令，得x＞m－1．

所以函数在区间[，m－1）上单调递减，在区间（m－1，＋∞）上单调递增，

所以．即当时，存在，使h（x0）＜0．

故知h（x）≥0对任意x∈[，＋∞）不恒成立．故不符合题意．

综上可知，实数m的取值范围是（－∞，]．