Question

7．已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，若对?p，q∈（0，1），且p≠q，有$\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{p-q}＞2$恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，18）
• B． （-∞，18]
• C． [18，+∞）
• D． （18，+∞）

Answer 1

分析 $\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{p-q}＞2$恒成立$?\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{{（{p+1}）-（{q+1}）}}＞2$恒成立?'f（x+1）≥2恒成立，即$\frac{a}{x+2}-2（{x+1}）≥2（{0＜x＜1}）$恒成立，分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：因为f（x）=aln（x+1）-x²，所以f（x+1）=aln[（x+1）+1]-（x+1）²，
所以$f'（{x+1}）=\frac{a}{x+2}-2（{x+1}）$．
因为p，q∈（0，1），且p≠q，所以$\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{p-q}＞2$恒成立$?\frac{{f（{p+1}）-f（{q+1}）}}{{（{p+1}）-（{q+1}）}}＞2$恒成立
?'f（x+1）≥2恒成立，即$\frac{a}{x+2}-2（{x+1}）≥2（{0＜x＜1}）$恒成立，
所以a＞2（x+2）²（0＜x＜1）恒成立，
又因为x∈（0，1）时，8＜2（x+2）²＜18，所以a≥18．
故选：C．

点评 本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．