Question

若数列{a_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，数列{b_n}满足b_n=log₂

1

an

，则数列{a_nb_n}的前n项和是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：求出数列{a_n}、数列{b_n}的通项公式代入a_nb_n，利用错位相减法求得其前n项和S_n．

解答： 解：∵数列{a_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴a_n=

1

2n

，
∴b_n=log₂

1

an

=n，
∴a_nb_n=n•

1

2n

，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ．①
2S_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．②
①-②得-S_n=1•2+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1．
∴S_n=2-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹．
故答案为：2-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹．

点评：考查等差数列和等比数列的通项公式、错位相减法求数列的前项和S_n，属中档题．