Question

12．我们把离心率e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$的双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$）的图象，给出以下几个说法：
①若b²=ac，则该双曲线是黄金双曲线；
②若F₁，F₂为左右焦点，A₁，A₂为左右顶点，B₁（0，b），B₂（0，-b）且∠F₁B₁A₂=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
③若MN经过右焦点F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为①②③．

Answer 1

分析 利用双曲线的简单性质分别求出离心率，再利用黄金双曲线的定义求解．

解答 解：①b²=ac，则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+e}$，
∴e²-e-1=0，解得e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，或e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（舍），
∴该双曲线是黄金双曲线，故①正确；
③如图，F₁，F₂为左右焦点，A₁，A₂为左右顶点，
B₁（0，b），B₂（0，-b），且∠F₁B₁A₂=90°，
∴B₁F₁²+B₁A₂²=A₂F₁²，即b²+2c²=（a+c）²，
整理，得b²=ac，由①知该双曲线是黄金双曲线，故②正确；
③如图，MN经过右焦点F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，
∴NF₂=OF₂，∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=c，∴b²=ac，
由①知该双曲线是黄金双曲线，故③正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查黄金双曲线的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．