Question

15．如图，已知正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且$\frac{PM}{PA}$=$\frac{BN}{BD}$=$\frac{1}{3}$．
（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；
（2）求二面角N-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{OP}$方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．
（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N-PC-B的余弦值．

解答 解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，
$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{OP}$方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz．
则A（1，-1，0），B（1，1，0），C（-1，1，0），D（-1，-1，0），…（2分）
设P（0，0，p），则$\overrightarrow{AP}$=（-1，1，p），又AP=2，
∴1+1+p²=4，∴p=$\sqrt{2}$，
∵$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AP}$=（$\frac{1}{3}，-\frac{1}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$=（$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，0$），
∴$\overrightarrow{PC}$=（-1，1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{MN}$=（0，$\frac{2}{3}$，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
设异面直线MN与PC所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{PC}|}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}{2\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{8}{9}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
θ=30°，
∴异面直线MN与PC所成角为30°．
（2）$\overrightarrow{PC}$=（-1，1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$，-$\sqrt{2}$），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-x+y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
设平面PNC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PN}=\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b-\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-a+b-\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，1），
设二面角N-PC-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5}{\sqrt{3}•\sqrt{11}}$=$\frac{5\sqrt{33}}{33}$．
∴二面角N-PC-B的余弦值为$\frac{5\sqrt{33}}{33}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．