Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁₀=0，且S_n≥-5对一切n∈N^*恒成立，则此等差数列{a_n}公差d的取值范围是（　　）

• A、（-∞，

  2

  5

  ]
• B、[0，

  2

  5

  ]
• C、[-

  5

  2

  ，0）
• D、[0，

  5

  2

  ]

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：设出等差数列{a_n}的首项，由S₁₀=0得到首项和公差的关系，把等差数列的前n项和用含有公差d和n的代数式表示，再由关于n的函数对一切n∈N^*恒成立列式求得d的取值范围．

解答： 解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，
由S₁₀=0，得10a1+

10×(10-1)d

2

=10a1+45d=0，
∴a1=-

9

2

d．
由S_n≥-5，得：
na1+

n(n-1)d

2

=-

9d

2

n+

d

2

n2-

d

2

n=

d

2

n2-5dn≥-5．
由S_n≥-5对一切n∈N^*恒成立，
得dn²-10dn+10≥0对一切n∈N^*恒成立，
∴d≥0且△≤0，
即100d²-40d≤0．
解得0≤d≤

2

5

．
∴公差d的取值范围是[0，

2

5

]．
故选：B．

点评：本题考查等差数列的前n项和，考查了数列的函数特性，训练了利用二次不等式恒成立的条件求解参数的范围，是中档题．