Question

18．设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），试求a_n，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析 S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），分别令n=1，2，3时，可得a₁=1，a₂=$\sqrt{2}$-1，a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，…，猜想a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．利用递推式可得${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}+{a}_{n+1}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$=0．利用数学归纳法证明即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
∴当n=1，2，3时，可得a₁=1，a₂=$\sqrt{2}$-1，a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，…，猜想a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．
下面利用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，a₁=1=$\sqrt{1}-\sqrt{0}$成立；
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，${a}_{k}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$成立．
∵S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），${S}_{n+1}=\frac{1}{2}（{a}_{n+1}+\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}（{a}_{n+1}+\frac{1}{{a}_{n+1}}）$-$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
化为${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}+{a}_{n+1}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$=0．
则当n=k+1时，$（\sqrt{k}-\sqrt{k-1}）$+$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$+${a}_{k+1}-\frac{1}{{a}_{k+1}}$=0，解得a_k+1=$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$．
∴当n=k+1时，a_k+1=$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$成立．
综上（1）（2）可得：?n∈N^*，a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$成立．

点评 本题考查了数列递推式的应用、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．