Question

【题目】已知数列{an}满足：a1=1，nan+1﹣（n+1）an=1（n∈N+）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若 ，求数列{bn}的最大项．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知式可化为 ．

则当n≥2时， ﹣ = ﹣ ，

﹣ = ﹣ ，

…

﹣ =1﹣ ，

以上各式相加： ﹣ =1﹣ ，

整理得：an=2n﹣1，

当n=1时，显然成立，

∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1；（n∈N+）

（2）解：由 ，则bn=n×（ ）n，n∈N+，

设g（x）=x（ ）x，x＞0，求导g′（x）=（ ）x+x（ ）xln（ ），

令g′（x）=0，解得：x=﹣ ，8＜﹣ ＜9，

由g（x）在（0，﹣ ）单调递增，在（﹣ ，+∞）单调递减，

且 ，

∴数列{bn}的单调性得最大项为

【解析】（1）由 ．采用累加法即可求得数列{an}的通项公式；（2）由（1）可知bn=n×（ ）n ， n∈N+ ， 根据导数与函数单调性的关系，即可求得数列{bn}的最大项．
【考点精析】掌握数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．