Question

1．某校运动会，高二理三个班级的3名同学报名参加铅球、跳高、三级跳远3个运动项目，每名同学都可以从3个运动项目中随机选择一个，且每个人的选择互相独立．
（Ⅰ）求3名同学恰好选择了2个不同运动项目的概率；
（Ⅱ）设选择跳高的人数为ξ，试求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等可能事件的概率计算公式求出对应的概率值；
（Ⅱ）根据题意，随机变量ξ服从二项分布，且ξ的所有可能取值为0，1，2，3；计算对应的概率值，写出ξ的概率分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）每名同学都有3种选择，3名同学共有3³=27种等可能结果，
设3名同学恰好选择了不同运动项目为事件A，则
事件A包含的基本事件个数为${C}_{3}^{2}$•${C}_{3}^{2}$•${C}_{1}^{1}$•${A}_{2}^{2}$=18，
所以P（A）=$\frac{18}{{3}^{3}}$=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）设“1名同学选择跳高”为事件B，则P（B）=$\frac{1}{3}$，
3人中选择跳高的人数ξ可以看作3次独立重复实验中事件B发生的次数，
所以随机变量ξ服从二项分布，且ξ的所有可能取值为0，1，2，3；
则P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}$•${（\frac{1}{3}）}^{0}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{8}{27}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{12}{27}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{6}{27}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}$•${（\frac{1}{3}）}^{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{0}$=$\frac{1}{27}$；
所以ξ的概率分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{1}{27}$

所以ξ数学期望为Eξ=0×$\frac{8}{27}$+1×$\frac{12}{27}$+2×$\frac{6}{26}$+3×$\frac{1}{27}$=1（或Eξ=nP=3×$\frac{1}{3}$=1）．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．