Question

5．已知a+2b=1且b＞1，则$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{b}$的取值范围（　　）

• A． （-2，1-2$\sqrt{2}$]
• B． （-∞，1-2$\sqrt{2}$]
• C． [1+2$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [1+2$\sqrt{2}$，4]

Answer 1

分析 根据条件可得到a＜-1，$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}＜0$，且$b=\frac{1-a}{2}$，带入$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}$并整理可得$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}=\frac{2{a}^{2}-a+1}{a-{a}^{2}}$，可设$\frac{2{a}^{2}-a+1}{a-{a}^{2}}=m$，可整理成关于a的方程的形式为（2+m）a²-（1+m）a+1=0，并得出该方程为关于a的一元二次方程，并在（-∞，-1）上有解，可设f（a）=（2+m）a²-（1+m）a+1，这样可由m＜0，f（-1）及判别式△的取值即可得出$m≤1-\sqrt{2}$．而根据条件可以得出$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2$，从而得出m一定满足m＞-3，这样根据选项便可找出正确选项．

解答 解：由a+2b=1得，$b=\frac{1-a}{2}$①；
∵b＞1；
∴$\frac{1-a}{2}＞1$；
∴a＜-1；
∴$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}＜0$；
将①带入$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}$得：$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}=\frac{1}{a}+\frac{2a}{1-a}=\frac{2{a}^{2}-a+1}{a-{a}^{2}}$；
设$\frac{2{a}^{2}-a+1}{a-{a}^{2}}=m$，整理成关于a的方程为：（2+m）a²-（1+m）a+1=0②，该方程在（-∞，-1）上有解；
若m=-2，a=-1，不符合a＜-1；
∴m≠-2；
∴方程②为关于a的一元二次方程，在（-∞，-1）上有解；
设f（a）=（2+m）a²-（1+m）a+1，则a应满足：
f（-1）=2m+4＜0（1），或$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-2y-7＞0}\\{2m+4≥0}\end{array}\right.$（2），或$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-2y-7=0}\\{f（-1）=2m+4＞0}\end{array}\right.$（3）；
解（1）得，m＜-2，解（2）得，$-2≤m＜1-2\sqrt{2}$，或$m＞1+2\sqrt{2}$，解（3）得，$m=1-2\sqrt{2}$；
又m＜0；
∴m$≤1-2\sqrt{2}$；
由a+2b=1得，$\frac{a}{b}+2=\frac{1}{b}$；
∴$\frac{a}{b}=\frac{1}{b}-2$；
∴$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2$；
∵a＜-1，b＞1；
∴$\frac{1}{a}＞-1，0＜\frac{1}{b}＜1$；
∴一定有$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2＞-3$成立，及m＞-3；
m一定满足$-3＜m≤1-2\sqrt{2}$；
即$-3＜\frac{1}{a}+\frac{a}{b}≤1-2\sqrt{2}$；
∴只有选项A正确．
故选：A．

点评 考查不等式的性质，以及通过将函数解析式变成关于自变量的方程的形式，然后根据方程在自变量所在区间上有解来求函数值域的方法，一元二次方程的解的情况和判别式△取值的关系．