Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0．则公差d的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，推导出a₁+a₁₂=a₃+a₁₀=2a₃+7d＞0，a₁+a₁₃=a₃+a₁₁=2a₃+8d＜0，由此能求出公差d的取值范围．

解答： 解：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0．
∴S12=

12

2

(a1+a12)＞0，
S₁₃=

13

2

(a1+a13)＜0，
∴a₁+a₁₂=a₃+a₁₀=2a₃+7d＞0，
∴24+7d＞0，∴d＞-

24

7

．
a₁+a₁₃=a₃+a₁₁=2a₃+8d＜0，
∴24+8d＜0，解得d＜-3．
∴-

24

7

＜d＜-3．
∴公差d的取值范围是（-

24

7

，-3）．
故答案为：（-

24

7

，-3）．

点评：本题考查等差数列的公差的取值范围的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．