Question

已知

OA

=（1，sinθ），

OB

=（cosθ，1），θ∈（0，

π

2

），则△AOB面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：利用向量的夹角公式可得cos∠AOB，利用三角函数的平方关系可得sin∠AOB，再利用三角形的面积计算公式和三角函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵

OA

=（1，sinθ），

OB

=（cosθ，1），θ∈（0，

π

2

），
∴|

OA

|=

1+sin2θ

，|

OB

|=

cos2θ+1

，

OA

•

OB

=cosθ+sinθ．
∴cos∠AOB=

OA • OB

| OA | | OB |

=

cosθ+sinθ

1+sin2θ 1+cos2θ

，
∴sin∠AOB=

1-cos2∠AOB

=

1-sinθcosθ

1+sin2θ 1+cos2θ

．
∴△AOB面积S=

1

2

|

OA

| |

OB

sin∠AOB|
=

1

2

×

1+sin2θ

×

1+cos2θ

×

1-sinθcosθ

1+sin2θ 1+cos2θ

=

1

2

-

1

4

sin2θ．
∵θ∈（0，

π

2

），
∴2θ∈（0，π）．
∴当2θ=

π

2

即θ=

π

4

时，sin2θ取得最大值，S_△AOB取得最小值：

1

2

-

1

4

=

1

4

．
故答案为：

1

4

．

点评：本题考查了向量的夹角公式、三角函数的平方关系、三角形的面积计算公式和三角函数的单调性，属于中档题．