Question

平面向量

a

，

b

，

e

满足|

e

|=1，

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，|

a

-

b

|=2，则

a

•

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，建立直角坐标系．由|

e

|=1，不妨设

e

=（1，0）．由

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，可设

a

=（1，m），

b

=（2，n）．利用|

a

-

b

|=2，可得

1+(m-n)2

=2，（m+n）²=3+4mn≥0，再利用数量积运算

a

•

b

=2+mn即可得出．

解答： 解：如图所示，建立直角坐标系．
∵|

e

|=1，∴不妨设

e

=（1，0）．
∵

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，
∴可设

a

=（1，m），

b

=（2，n）．
∴

a

-

b

=（-1，m-n）．
∵|

a

-

b

|=2，
∴

1+(m-n)2

=2，化为（m-n）²=3，
∴（m+n）²=3+4mn≥0，
∴mn≥-

3

4

，当且仅当m=-n=±

3

2

时取等号．
∴

a

•

b

=2+mn≥2-

3

4

=

5

4

．
故答案为：

5

4

．

点评：本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．