Question

定义域为[－1,1]的奇函数f(x)满足f(x)＝f(x－2)，且当x∈(0,1)时，f(x)＝2x＋.

(1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；

(2)求函数f(x)的值域．

Answer 1

解　(1)当x＝0时，f(0)＝－f(0)，故f(0)＝0.

当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)，

f(x)＝－f(－x)＝－(－2x＋)＝2x－.

若x＝－1时，f(－1)＝－f(1)．

又f(1)＝f(1－2)＝f(－1)，故f(1)＝－f(1)，得f(1)＝0，从而f(－1)＝－f(1)＝0.

综上，f(x)＝

(2)∵x∈(0,1)时，f(x)＝2x＋，

∴f′(x)＝2＋＞0，故f(x)在(0,1)上单调递增．

∴f(x)∈(0,3)．

∵f(x)是定义域为[－1,1]上的奇函数，且f(0)＝f(1)＝f(－1)＝0，

∴当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－3,3)．

∴f(x)的值域为(－3,3)．