Question

9．在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2，且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若经过点（0，$\sqrt{2}$）且斜率为k的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q．
（1）求k的取值范围；
（2）设椭圆C与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{AB}$共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意设出椭圆标准方程，且求得c，a的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）（1）写出直线方程，与椭圆方程联立，利用判别式大于0求得k的范围；
（2）利用根与系数的关系求出P，Q两点的横坐标与纵坐标的和，结合$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{AB}$共线求得k值，与（1）中求出的k的范围矛盾．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
且2c=2，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴c=1，a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=1，
∴椭圆方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（ II）①由已知条件，直线l的方程为$y=kx+\sqrt{2}$，
代入椭圆方程得$\frac{x^2}{2}+{（kx+\sqrt{2}）^2}=1$．
整理得$（{\frac{1}{2}+{k^2}}）{x^2}+2\sqrt{2}kx+1=0$，①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于$△=8{k^2}-4（{\frac{1}{2}+{k^2}}）=4{k^2}-2＞0$，
解得$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$k＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
即k的取值范围为$（{-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）∪（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞}）$；
②设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$，
由方程①，得${x_1}+{x_2}=-\frac{{4\sqrt{2}k}}{{1+2{k^2}}}$．②
又${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2\sqrt{2}$．③
而$A（\sqrt{2}，0），B（0，1），\overrightarrow{AB}=（-\sqrt{2}，1）$．
∴$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{AB}$共线等价于${x_1}+{x_2}=-\sqrt{2}（{y_1}+{y_2}）$，
将②③代入上式，解得$k=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
由（Ⅰ）知$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$k＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故没有符合题意的常数k．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了向量法在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．