Question

在平面直角坐标系xOy中，圆C过点（0，-1），（3+

2

，0），（3-

2

，0）
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，把点（0，-1），（3+

2

，0），（3-

2

，0）分别代入，能求出圆C的方程．
（Ⅱ）联立

x2+y2-6x+8y+7=0 x+y+a=0

，得2x²+（2a-14）x+a²-8a+7=0，由此利用根的判别式和根与系数的关系，结合已知条件推导出不存在实数a，使得圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB．

解答： 解：（Ⅰ）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
把点（0，-1），（3+

2

，0），（3-

2

，0）分别代入，得：

1-E+F=0 11+6 2 +(3+ 2 )D+F=0 11-6 2 +(3- 2 )D+F=0

，
解得D=-6，E=8，F=7，
∴圆C的方程为x²+y²-6x+8y+7=0．
（Ⅱ）联立

x2+y2-6x+8y+7=0 x+y+a=0

，
得2x²+（2a-14）x+a²-8a+7=0，
∵圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，
∴△=（2a-14）²-8（a²-8a+7）＞0，解得-5＜a＜7，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=7-a，x₁x₂=

a2-8a+7

2

，
y₁y₂=（-x₁-a）（-x₂-a）=x1x2+a(x1+x2)+a2，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=2x1x2+a(x1+x2)+a2=0，
∴2×

a2-8a+7

2

+（7-a）a+a²=0，
整理，得a²-a+7=0，
△′=1-28＜0，方程无解，
∴不存在实数a，使得圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB．

点评：本题考查圆的方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意待定系数法的合理运用．