若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知A,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+Ax2+b x的两个极值点.
(1)求A和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.
(1) ;(2) 函数g(x)的极值点为
.
解析试题分析:(1)极值点时,函数取得极值,对应的导函数的值为,先对函数求导得
,当
取
时,导函数值为
,得到关于
的二元一次方程,解得
的值;(2)由
知
,令
得
或
,两数将定义域分成三个部分,根据极值定义列表判断,可知当
时函数有极小值.
解:(1)因为,
所以f′(x)=3x2+2Ax+b,且f′(-1)=3-2A+b=0,f′(1)=3+2A+b=0,
解得A=0,b=-3. 4分
经检验,当A=0,b=-3时,1和-1是函数f(x)=x3+Ax2+bx的两个极值点.
综上,所求的A和b的值分别为0,-3. 5分
(2)由(1),知f(x)=x3-3x,所以g′(x)=x3-3x+2=(x-1)2(x+2),
令g′(x)=0,得x=1或x=-2, 7分
当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下所示:
11分x (-∞,-2) -2 (-2,1) 1 (1,+∞) g′(x) - 0 + 0 + g(x) ↘? 极小值 ↗? 不是极值 ↗
所以x=-2是函数g(x)的极小值点,
即函数g(x)的极值点为-2. 12分
考点:利用导数求函数的极值.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=ln x+2x,g(x)=a(x2+x).
(1)若a=,求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数.
(1)当a=l时,求的单调区间;
(2)若函数在
上是减函数,求实数a的取值范围;
(3)令,是否存在实数a,当
(e是自然对数的底数)时,函数g(x)最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N +),其中xn为正实数.
(1)用xn表示xn+1;
(2)若x1=4,记an=lg,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式;
(3)若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<3.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,其中
.
(1)是否存在实数,使得函数
在
上单调递增?若存在,求出的
值或取值范围;否则,请说明理由.
(2)若a<0,且函数y=f(x)的极小值为,求函数的极大值。
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