Question

若偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），在x∈[0，1]时，f（x）=x²，则关于x的方程f（x）=（

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）^x在[0，4]上根的个数是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据f（x-1）=f（x+1），可知函数周期为2，结合该函数为偶函数，可以做出函数f（x）在[0，4]上的图象，然后再做出函数y=（

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）^x的图象，则它们图象的交点个数即为所求．

解答： 解：因为偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），所以函数f（x）的图象关于y轴对称，同时以2为周期．
根据x∈[0，1]时，f（x）=x²得该函数在[0，4]上的图象为：

再在同一坐标系中做出函数y=(

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)x的图象，如图，当x∈[0，4]时，两函数图象有四个交点．
所以方程f（x）=（

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）^x在[0，4]上有4个根．
故答案为4．

点评：本题考查了函数的奇偶性的有关概念和性质，以及利用数形结合思想解决方程根的个数的判断问题．