Question

（本题满分14分）如图，椭圆的顶点为焦点为，，.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线过，且与椭圆相交于两点，当是的中点时，求直线的方程．

（3）设为过原点的直线，是与垂直相交于点且与椭圆相交于两点的直线，，是否存在上述直线使以为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）不存在以为直径的圆过原点的直线.

【解析】

试题分析：（1）根据题中条件容易得出，，结合，可确定的值，进而写出椭圆的方程即可；（2）分直线的斜存在与不存在两种情况进行求解，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点差法，结合是的中点，即可求直线的方程，当直线的斜率不存在时，检验即可；（3）先设，假设所求直线存在，则必有，进而得到，然后分直线的斜率存在与不存在两种情况进行求解判断直线的存在与否即可.

试题解析：（1）依题意有， 1分

又由，有， 2分

解得， 3分，故椭圆C的方程为 4分

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，

则，，两式相减得：

∵是的中点，∴ 可得直线的斜率为

当直线的斜率不存在时，将代入椭圆方程并解得，

这时的中点为，∴不符合题设要求 8分

综上，直线的方程为 9分

（3）设两点的坐标分别为，假设满足题设的直线存在

（i）当不垂直于轴时，设的方程为，由与垂直相交于点且得，即， 10分

又∵以AB为直径的圆过原点，∴， ∴

将代入椭圆方程，得

由求根公式可得 ④

⑤

将④，⑤代入上式并化简得

，⑥

将代入⑥并化简得，矛盾

即此时直线不存在. 12分

（ii）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或

当时，的坐标分别为

，

当时，同理可得

即此时直线也不存在 13分

综上可知，使以为直径的圆过原点的直线不存在 14分.

考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.直线的方程；3.分类讨论的思想.

考点分析： 考点1：椭圆的标准方程 考点2：椭圆的几何性质 试题属性

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