Question

9．设函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-klnx，k∈R．
（1）求f（x）的单调性；
（2）判断方程f（x）=0在区间（1，$\sqrt{e}$）上是否有解？若有解，说明解的个数及依据；若无解，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求导，再分类根据导数和函数单调性的关系即可解决；
（2）根据函数的单调性以及k的范围，即可判断f（x）=0在区间（1，$\sqrt{e}$）解得个数．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-klnx，其定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=x-$\frac{k}{x}$，
当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）单调递增，
当k＞0时，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{k}$
当f′（x）＞0时，解得x＞$\sqrt{k}$，此时函数f（x）在（$\sqrt{k}$，+∞）单调递增，
当f′（x）＜0时，解得0＜x＜$\sqrt{k}$，此时函数f（x）在（0，$\sqrt{k}$）单调递减，
综上所述，当k≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，
当k＞0时，f（x）在（$\sqrt{k}$，+∞）单调递增，在（0，$\sqrt{k}$）单调递减．
（2）由（1）可知，①当k≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，
∵方程f（x）=0在区间（1，$\sqrt{e}$）上是有解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＜0}\\{f（\sqrt{e}）＞0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜0}\\{\frac{e}{2}-\frac{k}{2}＞0}\end{array}\right.$此时k的值不存在，
②∵f（1）=$\frac{1}{2}$＞0，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e-k}{2}$，
当0＜$\sqrt{k}$＜1时，即0＜k＜1时，f（x）在（1，$\sqrt{e}$）单调递增，由f（1）=$\frac{1}{2}$＞0，故f（x）=0在区间（1，$\sqrt{e}$）上无解
当1≤$\sqrt{k}$≤$\sqrt{e}$时，即1≤k≤e时，f（x）_min=f（$\sqrt{k}$）=$\frac{k}{2}$-kln$\sqrt{k}$=kln$\sqrt{\frac{e}{k}}$＞0，故f（x）=0在区间（1，$\sqrt{e}$）上无解
当$\sqrt{k}$＞$\sqrt{e}$时，即k≥e时，f（x）在（1，$\sqrt{e}$）单调递减，由f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e-k}{2}$＜0，故f（x）=0在区间（1，$\sqrt{e}$）上有唯一解，
综上所述，当k≤e时，f（x）=0在区间（1，$\sqrt{e}$）上无解，
当k＞e时，故f（x）=0在区间（1，$\sqrt{e}$）上有唯一解．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数恒成立问题，考查了分类讨论，转化思想，属于中档题．