Question

2．如图，已知P是以F₁（-1，0）为圆心，以4为半径的圆上的动点，P与F₂（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF₁交于点M．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知点E坐标为（4，0），并且倾斜角为锐角的直线l经过点F₂（1，0）并且与曲线C相交于A，B两点，
（ⅰ）求证：∠AEF₂=∠BEF₂；
（ⅱ）若cos∠AEB=$\frac{7}{9}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设M（x，y），M在线段PF₂的垂直平分线上，|MP|=|MF₂|，可得|MF₁|+|MF₂|=|MF₁|+|MP|=4＞|F₁F₂|．M的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，设椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，由题意可求得a、b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设出直线AB的方程，将直线方程代入椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，由韦达定理求得x₁+x₂及x₁•x₂，分别求得k_AE及k_BE，由k_AE+k_BE=0，即可求得∠AEF₂=∠BEF₂；
（ⅱ）由cos∠AEB=$\frac{7}{9}$，求得tan∠AEB，由$\frac{y_1}{{{x_1}-4}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，

解答 解：（Ⅰ）设M（x，y），则因为M在线段PF₂的垂直平分线上，
所以|MP|=|MF₂|，
所以|MF₁|+|MF₂|=|MF₁|+|MP|=4＞|F₁F₂|．
即M的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，…（2分）
其长半轴为a=2，半焦距为c=1，
所以短半轴$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}$．
所以C的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-1），
则$\left\{\begin{array}{l}3{x^2}+4{y^2}=12\\ y=k（x-1）\end{array}\right.\;⇒（3+4{k^2}）{x^2}-8{k^2}x+4{k^2}-12=0$，
${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．
则${k_{AE}}=\frac{y_1}{{{x_1}-4}}$，${k_{BE}}=\frac{y_2}{{{x_2}-4}}$．…（6分）
所以${k_{AE}}+{k_{BE}}=\;\;\frac{y_1}{{{x_1}-4}}\;+\frac{y_2}{{{x_2}-4}}\;=\frac{{k（{x_1}-1）}}{{{x_1}-4}}\;+\frac{{k（{x_2}-1）}}{{{x_2}-4}}$，
=$\frac{{k（{x_1}-1）（{x_2}-4）+k（{x_2}-1）（{x_1}-4）}}{{（{x_1}-4）（{x_2}-4）}}=\;\;\frac{{k[2{x_1}{x_2}-5（{x_1}+{x_2}）+8]}}{{（{x_1}-4）（{x_2}-4）}}=0$．
即∠AEF₂=∠BEF₂．…（8分）
（ⅱ）因为$cos∠AEB=\frac{7}{9}$，
所以$tan∠AE{F_2}=tan∠BE{F_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，不妨设点A在第一象限，
则$\frac{y_1}{{{x_1}-4}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，$\frac{y_2}{{{x_2}-4}}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
所以$\frac{{{y_1}^2}}{{{{（{x_1}-4）}^2}}}=\frac{1}{8}$，$\frac{{{y_2}^2}}{{{{（{x_2}-4）}^2}}}\;=\frac{1}{8}$；
即$\left\{\begin{array}{l}{（{x_1}-4）^2}=8{y_1}^2\\{（{x_2}-4）^2}=8{y_2}^2\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{（{x_1}-4）^2}=8•3（1-\frac{{{x_1}^2}}{4}）\\{（{x_2}-4）^2}=8•3（1-\frac{{{x_2}^2}}{4}）\end{array}\right.$…（10分）
所以x₁，x₂是方程${（x-4）^2}=8•3（1-\frac{x^2}{4}）$，
即方程7x²-8x-8=0的两个根，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{8}{7}$，${x_1}{x_2}=-\frac{8}{7}$，
所以$\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}=\frac{8}{7}$，k²=1．又倾斜角为锐角，
所以k＞0，所以直线AB的方程为y=x-1．…（12分）

点评 本题考查椭圆标准方程的求法、直线与椭圆的位置关系及其应用，韦达定理及弦长公式，考查转化思想及运算能力，属于中档题．