Question

8．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为A₁B₁的中点．
（1）证明：A₁C∥平面BC₁D；
（2）若A₁A=A₁C，点A₁在平面ABC的射影在AC上，且BC与平面BC₁D所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结B₁C交BC₁于点E，连结DE．DE∥A₁C，得A₁C∥平面BC₁D；
（Ⅱ）取AC的中点O，连结A₁O，∵点A₁在面ABC上的射影在AC上，且A₁A=A₁C．则A₁O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O-xyz，设A₁O=a．求出面BC₁D的法向量，由BC与平面BC₁D所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，即|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BC}＞$|=|$\frac{\sqrt{3}a+\sqrt{3}a}{2\sqrt{4{a}^{2}+3}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，可得a=$\sqrt{3}$．

解答 解：（Ⅰ）证明：连结B₁C交BC₁于点E，连结DE．
则E是B₁C的中点，又D为A₁B₁，所以DE∥A₁C₁，且DE?面BC₁D，A₁C?BC₁D，
∴A₁C∥平面BC₁D；
（Ⅱ）取AC的中点O，连结A₁O，∵点A₁在面ABC上的射影在AC上，且A₁A=A₁C．
∴A₁O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O-xyz，设A₁O=a．
∵AC=BC=2，∠ACB=120°，则B（-2，$\sqrt{3}$，0），C（-1，0，0），C₁（-2，0，a），D（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a）
$\overrightarrow{BC}=（1，-\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}=（0，-\sqrt{3}，a）$，$\overrightarrow{{C}_{1}D}=（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$．
设$\overrightarrow{n}=（c，y，z）$为面BC₁D的法向量，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-\sqrt{3}y+az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$，
取y=-a，则$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}a，-a，-\sqrt{3}）$，
由BC与平面BC₁D所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，即|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BC}＞$|=|$\frac{\sqrt{3}a+\sqrt{3}a}{2\sqrt{4{a}^{2}+3}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，可得a=$\sqrt{3}$．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了空间线面平行，向量法求空间角，空间想象能力、计算能力，属于中档题．