Question

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S=（a+b）²-c²，则tanC等于（　　）

• A． $\frac{5}{12}$
• B． $-\frac{5}{12}$
• C． $\frac{12}{5}$
• D． $-\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 首先由三角形面积公式得到S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab•sinC，再由余弦定理，结合6S=（a+b）²-c^2，_得出3sinC-2cosC=2，然后通过（3sinC-2cosC）²=4，求出结果即可．

解答 解：△ABC中，∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab•sinC，由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，且6S=（a+b）²-c²，
∴3absinC=（a+b）²-（a²+b²-2abcosC），
整理得3sinC-2cosC=2，
∴（3sinC-2cosC）²=4．
∴$\frac{（3sinC-2cosC）^{2}}{si{n}^{2}C+co{s}^{2}C}$=4，化简可得 5tan²C-12tanC=0．
∵C∈（0，180°），
∴tanC=$\frac{12}{5}$，
故选：C．

点评 本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，要注意角C的范围，属于中档题．