Question

16．如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中分离出来的．
（1）直接写出∠DC₁D₁在图中的度数和它表示的角的真实度数．
（2）求∠A₁C₁D的真实度数．
（3）设BC=1m，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？

Answer 1

分析 （1）∠DC₁D₁在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°；
（2）连接DA₁，则△A₁C₁D的三条边都是正方体的面对角线，都是$\sqrt{2}a$，利用等边三角形的性质即可得出；
（3）如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛的水的体积等于三棱锥C₁-C B₁D₁的体积，即可得出．

解答 解：（1）∠DC₁D₁在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°；
（2）连接DA₁，则△A₁C₁D的三条边都是正方体的面对角线，
都是$\sqrt{2}a$，
∴△A₁C₁D是等边三角形，
∴∠A₁C₁D=60°．
（3）如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛的水的体积等于
三棱锥C₁-C B₁D₁的体积，
而${V_{{C_1}-C{B_1}{D_1}}}$=${V_{C-{C_1}{B_1}{D_1}}}$=$\frac{1}{3}{S_{△{B_1}{C_1}{D_1}}}•C{C_1}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了正方体的直观图的性质、等边三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．