Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q，且0＜q＜.

(1) 在数列{a_n}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；

(2) 若a₁＝1，且对任意正整数k，a_k－(a_k＋1＋a_k＋2)仍是该数列中的某一项．

(ⅰ) 求公比q；

(ⅱ) 若b_n＝－loga_n＋1(＋1)，S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n，T_r＝S₁＋S₂＋…＋S_n，试用S_{2 011}表示T_{2 011}.

Answer 1

解：(1) 由条件知a_n＝a₁q^n－1，0＜q＜，a₁＞0，所以数列{a_n}是递减数列．若有a_k，a_m，a_n(k＜m＜n)成等差数列，则中项不可能是a_k(最大)，也不可能是a_n(最小)，

若2a_m＝a_k＋a_n2q^m－k＝1＋q^n－k，(*)

由2q^m－k≤2q＜1，1＋q^h－k＞1，知(*)式不成立，

故a_k，a_m，a_n不可能成等差数列．

(2) (ⅰ) (解法1)a_k－a_k＋1－a_k＋2＝a₁q^k－1(1－q－q²)＝，

由－，知a_k－a_k＋1－a_k＋2＜a_k＜a_k－1＜…，

且a_k－a_k＋1－a_k＋2＞a_k＋2＞a_k＋3＞…，

所以a_k－a_k＋1－a_k＋2＝a_k＋1，即q²＋2q－1＝0，

所以q＝－1.

(解法2)设a_k－a_k＋1－a_k＋2＝a_m，则1－q－q²＝q^m－k，

由1－q－q²∈知m－k＝1，即m＝k＋1，

以下同解法1.

(ⅱ) b_n＝，

(解法1)S_n＝1＋＋＋…＋，

＝nS_n－[(1－)＋(1－)＋(1－)＋…＋(1－)]

＝nS_n－

＝nS_n－

＝nS_n－n＋S_n

＝(n＋1)S_n－n，

所以T_{2 011}＝2 012S_{2 011}－2 011.

(解法2)S_n＋1＝1＋＋＋…＋，所以(n＋1)S_n＋1－(n＋1)S_n＝1，

所以(n＋1)S_n＋1－nS_n＝S_n＋1，

2S₂－S₁＝S₁＋1，

3S₃－2S₂＝S₂＋1，

…　　　…

(n＋1)S_n＋1－nS_n＝S_n＋1，

累加得(n＋1)S_n＋1－S₁＝T_n＋n，

所以T_n＝(n＋1)S_n＋1－1－n＝(n＋1)S_n－n

＝(n＋1)(S_n＋b_n)－1－n

＝(n＋1) －1－n＝(n＋1)S_n－n，

所以T_{2 011}＝2 012S_{2 011}－2 011.