Question

已知正三棱锥P-ABC的高PO为h，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成角的余弦值为

2

3

，则正三棱锥P-ABC的体积为（　　）

• A、

  3 3

  8

  h3
• B、

  2 3

  8

  h3
• C、

  3

  8

  h3
• D、

  3 3

  4

  h3

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：利用异面直线所成的角，得到底面边长与高h的关系，易求a2=

3

2

h2，V_P-ABC=

1

3

×

1

2

×a×

3

2

a×h=

3

12

a2h=

3

8

h3．

解答： 解：设底面边长为a，连接CO交AB于F，过点D作DE∥PO交CF于E，连接BE，则∠BDE即PO与BD所成角，∴cos∠BDE=

2

3

，
∵PO⊥面ABC，∴DE⊥面ABC，∴△BDE是直角三角形，
∵点D为侧棱PC的中点，∴DE=

1

2

h，∴BE=

14

4

h，
在正三角形ABC中，BF=

1

2

a，EF=

2

3

CF=

3

3

a，
在Rt△BEF中，BE²=EF²+BF²，
∴a2=

3

2

h2，∴V_P-ABC=

1

3

×

1

2

×a×

3

2

a×h=

3

12

a2h=

3

8

h3
故选：C．

点评：本题考查了异面直线所成的角，三棱锥的体积，充分利用线面的位置关系，考查空间想象能力，计算能力．