Question

函数f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），给出下列三个命题；
①在函数f（x）区间[

π

2

，

5π

8

]上是减函数；
②直线x=

π

8

是函数f（x）的图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可以由函数y=

2

sin2x的图象向左平移

π

4

得到．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：直接求出原函数的减函数判断①；把x=

π

8

代入函数解析式求值判断②；利用三角函数的平移变换判断③．

解答： 解：函数f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），
对于①，由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ，k∈Z，
当k=0时，函数的一个减区间为[

π

8

，

5π

8

]，
∴函数f（x）区间[

π

2

，

5π

8

]上是减函数．命题①正确；
对于②，当x=

π

8

时，f（x）=

2

sin（2×

π

8

+

π

4

）=

2

，为函数的最大值．
∴直线x=

π

8

是函数f（x）的图象的一条对称轴．命题②正确；
对于③，函数f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）=

2

sin2（x+

π

8

），
是由函数y=

2

sin2x的图象向左平移

π

8

个单位得到的．命题③错误．
∴正确命题的序号是①②．
故答案为：①②．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，训练了三角函数图象的平移，是中档题．