Question

9．已知F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F₁PF₂为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由∠F₁PF₂为钝角，得到$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0有解，转化为c²＞x₀²+y₀²有解，求出x₀²+y₀²的最小值后求得椭圆离心率的取值范围．

解答 解：设P（x₀，y₀），则|x₀|＜a，
又F₁（-c，0），F₂（c，0），
又∠F₁PF₂为钝角，当且仅当$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0有解，
即（-c-x₀，-y₀）•（c-x₀，-y₀）=（-c-x₀）（c-x₀）+y₀²＜0，
即有c²＞x₀²+y₀²有解，即c²＞（x₀²+y₀²）_min．
又y₀²=b²-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$x₀²，
∴x₀²+y₀²=b²+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$x₀²∈[b²，a²），
即（x₀²+y₀²）_min=b²．
故c²＞b²，c²＞a²-c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$＞$\frac{1}{2}$，即e＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的性质，主要是求离心率的范围，考查了平面向量数量积在解题中的应用，体现了数学转化思想方法，解答此题的关键在于把存在一点P使∠F₁PF₂为钝角转化为$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0有解．