Question

已知y=f（x）是定义在R上的增函数，且y=f（x）的图象关于点（6，0）对称．若实数x，y满足不等式
f（x²-6x）+f（y²-8y+36）≤0，则x²+y²的取值范围是

 

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Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：因为函数y=f（x）的图象关于点（6，0）对称，所以f（x+6）=-f（6-x），从而f（x²-6x）+f（y²-8y+36）≤0转化为（x-3）²+（y-4）²≤1，借助于圆的有关知识可求．

解答： 解：因为函数y=f（x）的图象关于点（6，0）对称，所以f（x+6）=-f（6-x），
因为f（x²-6x）+f（y²-8y+36）≤0，
所以f（x²-6x）≤-f（y²-8y+36）=-f（y²-8y+30+6）=f[6-（y²-8y+30）]，
因为函数y=f（x）是定义在R上的增函数，所以得x²-6x≤6-（y²-8y+30），
化简配方得（x-3）²+（y-4）²≤1，所以圆心为（3，4），半径为1，
x²+y²的几何意义为圆上动点到原点距离的平方的最值．
因为圆心到原点的距离为5，所以动点到原点的距离的范围是4≤d≤6，所以16≤d²≤36，所以x²+y²的取值范围是[16，36]．
故答案为：[16，36]．

点评：本题考查函数单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现了“数形结合及”转化”的思想在解题中的应用．