【题目】已知函数,其中
,
是自然对数的底数.
(1)当时,求曲线
在
处的切线方程;
(2)求函数的单调减区间;
(3)若在
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)当
时,
无单调减区间;当
时,
的单调减区间是
;当
时,
的单调减区间是
.(3)
【解析】试题分析:(1)先对函数解析式进行求导,再借助导数的几何意义求出切线的斜率,运用点斜式求出切线方程;(2)先对函数的解析式进行求导,然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分类分析探求;(3)先不等式进行等价转化,然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极值与最值,进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。
解:(1)因为,所以
.
因为,所以
.
所以切线方程为.
(2) 因为,
当时,
,所以
无单调减区间.
当即
时,列表如下:
所以的单调减区间是
.
当即
时,
,列表如下:
所以的单调减区间是
.
综上,当时,
无单调减区间;
当时,
的单调减区间是
;
当时,
的单调减区间是
.
(3) .
当时,由(2)可得,
为
上单调增函数,
所以在区间
上的最大值
,符合题意.
当时,由(2)可得,要使
在区间
上恒成立,
只需,
,解得
.
当时,可得
,
.
设,则
,列表如下:
所以,可得
恒成立,所以
.
当时,可得
,无解.
综上, 的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源,假如不计其它因素,在t秒内,它们引发的水面波动可分别由函数 和
描述,如果两个振动源同时启动,则水面波动由两个函数的和表达,在某一时刻使这三个振动源同时开始工作,那么,原本平静的水面将呈现的状态是( )
A.仍保持平静
B.不断波动
C.周期性保持平静
D.周期性保持波动
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 , O是底ABCD对角线的交点.求证:
(1)C1O∥面AB1D1;
(2)面BDC1∥面AB1D1 .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,某生态园将一块三角形地的一角
开辟为水果园,已知角
为
,
的长度均大于200米,现在边界
处建围墙,在
处围竹篱笆.
(1)若围墙、
总长度为200米,如何可使得三角形地块
面积最大?
(2)已知竹篱笆长为米,
段围墙高1米,
段围墙高2米,造价均为每平方米100元,求围墙总造价的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(n)=n2cos(nπ),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100=( )
A.0
B.﹣100
C.100
D.10200
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【题目】随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
(Ⅰ)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;
(Ⅱ)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
天气 | 晴 | 雨 | 阴 | 阴 | 阴 | 雨 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 晴 |
日期 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
天气 | 晴 | 阴 | 雨 | 阴 | 阴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 雨 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= .
(1)求cos∠CAD的值;
(2)若cos∠BAD=﹣ ,sin∠CBA=
,求BC的长.
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