Question

求下列函数的定义域，值域，单调递增区间，最小值，对称轴方程和对称中心．
（1）f（x）=2sin（x-

π

3

）；
（2）f（x）=-sin（

1

2

x+

π

6

）

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用正弦函数的定义域、值域、最值、单调性、图象的对称性，得出结论．
（2）由条件利用正弦函数的定义域、值域、最值、单调性、图象的对称性，得出结论，注意转化（f（x）的增区间即函数y=sin（

1

2

x+

π

6

）的减区间）．

解答： 解：（1）对于f（x）=2sin（x-

π

3

），定义域为R，值域为[-2，2]，最小值为-2．
令2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

，
故函数的增区间为[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

]，k∈z．
令x-

π

3

=kπ+

π

2

，求得x=kπ+

5π

6

，可得函数的图象的对称轴方程为x=kπ+

5π

6

，k∈z．
令x-

π

3

=kπ，求得x=kπ+

π

3

，可得函数的图象的对称中心为（kπ+

π

3

，0）．
（2）对于f（x）=-sin（

1

2

x+

π

6

），定义域为R，值域为[-1，1]，最小值为-1．
令2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得4kπ+

2π

3

≤x≤2kπ+

8π

3

，
故函数的增区间为[4kπ+

2π

3

，4kπ+

8π

3

]，k∈z．
令

1

2

x+

π

6

=kπ+

π

2

，求得x=2kπ+

2π

3

，可得函数的图象的对称轴方程为x=2kπ+

2π

3

，k∈z．
令

1

2

x+

π

6

=kπ，求得x=2kπ-

π

3

，可得函数的图象的对称中心为（2kπ-

π

3

，0）．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域、值域、最值、单调性、图象的对称性，体现了转化的数学思想，注意第二题中，f（x）的增区间即函数y=sin（

1

2

x+

π

6

）的减区间，属于基础题．