Question

12．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}（n∈{N^*}）$的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的项；
（3）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）利用通项公式求出第五项的系数与第三项的系数，他们的比为10：1，可得n的值，记录赋值法x=1可得展开式中各项系数的和．
（2）利用通项公式，令x的指数等于$\frac{3}{2}$，求通项中的k，可得答案．
（3）设展开式中的第k项，第k+1项，第k+2项的系数绝对值分别为$C_8^{k-1}•{2^{k-1}}$，$C_8^k•{2^k}$，$C_8^{k+1}•{2^{k+1}}$，若第k+1项的系数绝对值最大，求出k的范围，讨论系数正负情况，可得系数最大值．根据n=8，可得第5项二项式系数最大．

解答 解：由题意知，第五项系数为$C_n^4{（-2）^4}$，第三项的系数为$C_n^2{（-2）^2}$，则有$\frac{{C_n^4{{（-2）}^4}}}{{C_n^2{{（-2）}^2}}}=\frac{10}{1}$，
化简得n²-5n-24=0，解得n=8或n=-3（舍去）．
（1）令x=1得各项系数的和为（1-2）⁸=1．
（2）通项公式T_k+1=$C_8^k{（\sqrt{x}）^{8-k}}•{（-\frac{2}{x^2}）^k}$=$C_8^k{（-2）^k}•$${x}^{\frac{1}{2}（8-k）}•{x}^{-2k}$．
令$\frac{8-k}{2}$-2k=$\frac{3}{2}$，则k=1，
可得：${C}_{8}^{1}•（\sqrt{x}）^{8-1}（-\frac{2}{{x}^{2}}）^{1}$=${-2•C}_{8}^{1}•{x}^{\frac{7}{2}}•{x}^{-2}$=$-2{•C}_{8}^{1}•{x}^{\frac{3}{2}}$．
故展开式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的项为-16x${\;}^{\frac{3}{2}}$．
（3）设展开式中的第k项，第k+1项，第k+2项的系数绝对值分别为
$C_8^{k-1}•{2^{k-1}}$，$C_8^k•{2^k}$，$C_8^{k+1}•{2^{k+1}}$，
若第k+1项的系数绝对值最大，则$\left\{\begin{array}{l}C_8^{k-1}•{2^{k-1}}≤C_8^k•{2^k}\\ C_8^{k+1}•{2^{k+1}}≤C_8^k•{2^k}\end{array}\right.$解得5≤k≤6．
又T₆的系数为负，
∴系数最大的项为T₇=1792x^-11．
由n=8知第5项二项式系数最大，
此时T₅=1120x^-6．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于中档题．